Movendo Médio Ordem Q

Como um exemplo SMA, considere um título com os seguintes preços de fechamento em 15 dias: Semana 1 (5 dias) 20, 22, 24, 25, 23 Semana 2 (5 dias) 26, 28, 26, 29, 27 Semana 3 (5 dias) 28, 30, 27, 29, 28 Uma MA de 10 dias seria a média dos preços de fechamento para os primeiros 10 dias como o primeiro ponto de dados. O ponto de dados seguinte iria cair o preço mais antigo, adicione o preço no dia 11 e tomar a média, e assim por diante, como mostrado abaixo. Conforme observado anteriormente, MAs atraso ação preço atual porque eles são baseados em preços passados ​​quanto maior for o período de tempo para o MA, maior será o desfasamento. Assim, um MA de 200 dias terá um grau muito maior de atraso do que um MA de 20 dias porque contém preços nos últimos 200 dias. A duração do MA para usar depende dos objetivos de negociação, com MAs mais curtos usados ​​para negociação de curto prazo e MA de longo prazo mais adequado para investidores de longo prazo. O MA de 200 dias é amplamente seguido por investidores e comerciantes, com quebras acima e abaixo desta média móvel considerada como sinais comerciais importantes. MAs também transmitir sinais comerciais importantes por conta própria, ou quando duas médias se cruzam. Um aumento MA indica que a segurança está em uma tendência de alta. Enquanto um declínio MA indica que está em uma tendência de baixa. Da mesma forma, o impulso ascendente é confirmado com um crossover de alta. Que ocorre quando um MA de curto prazo cruza acima de um MA de longo prazo. A motilidade descendente é confirmada com um cruzamento de baixa, o que ocorre quando um MA de curto prazo cruza abaixo de um MA a longo prazo. Média Móvel Ação de Crescimento ARMA (p, q) Modelos para Análise de Série de Tempo - Parte 2 Na Parte 1 consideramos o modelo Autoregressivo De ordem p, também conhecido como modelo AR (p). Nós o introduzimos como uma extensão do modelo de caminhada aleatória, numa tentativa de explicar a correlação serial adicional em séries de tempo financeiras. Em última análise, percebemos que não era suficientemente flexível para capturar verdadeiramente toda a autocorrelação nos preços de fechamento da Amazon Inc. (AMZN) e do SampP500 US Equity Index. A principal razão para isso é que ambos os ativos são condicionalmente heteroskedastic. O que significa que eles não são estacionários e têm períodos de variação variável ou agrupamento de volatilidade, o que não é levado em conta pelo modelo AR (p). Em futuros artigos, acabaremos por construir os modelos ARREM (Intelligent Moving Average), bem como os modelos condicionalmente heteroscedáticos das famílias ARCH e GARCH. Esses modelos nos fornecerão nossas primeiras tentativas realistas de prever os preços dos ativos. Neste artigo, no entanto, vamos introduzir a média móvel de ordem q modelo, conhecido como MA (q). Este é um componente do modelo ARMA mais geral e, como tal, precisamos compreendê-lo antes de avançar. Eu recomendo que você leia os artigos anteriores na coleção Análise de Série de Tempo se você não tiver feito isso. Todos podem ser encontrados aqui. Modelos de Ordem Mínima (MA) de ordem q Um modelo de Média Móvel é semelhante a um modelo Autoregressivo, exceto que em vez de ser uma combinação linear de valores de séries temporais passadas, é uma combinação linear dos termos de ruído branco passado. Intuitivamente, isso significa que o modelo MA vê tais choques de ruído branco aleatório diretamente em cada valor atual do modelo. Isto está em contraste com um modelo AR (p), onde os choques de ruído branco são vistos apenas indiretamente. Via regressão em termos anteriores da série. A principal diferença é que o modelo MA só verá os últimos q choques para qualquer modelo MA (q) particular, enquanto que o modelo AR (p) terá todos os choques anteriores em conta, embora de uma forma decrescentemente fraca. Definição Matematicamente, o MA (q) é um modelo de regressão linear e é estruturado de forma semelhante a AR (p): Modelo de Ordem Mínima de ordem q Um modelo de série temporal, é um modelo de média móvel de ordem q. MA (q), se: begin xt wt beta1 w ldots betaq w final Onde está o ruído branco com E (wt) 0 e variância sigma2. Se considerarmos o Backward Shift Operator. (Veja um artigo anterior), então podemos reescrever o acima como uma função phi de: begin xt (1 beta1 beta2 2 ldots betaq q) wt phiq () wt end Nós faremos uso da função phi em artigos posteriores. Propriedades de Segunda Ordem Como com AR (p) a média de um processo MA (q) é zero. Isso é fácil de ver como a média é simplesmente uma soma de meios de termos de ruído branco, que são todos eles mesmos zero. Começar texto enspace mux E (xt) sum E (wi) 0 fim começar texto enspace sigma2w (1 beta21 ldots beta2q) texto final enspace rhok esquerda 1 texto enspace k 0 sum betai beta sumq texto beta2i enspace k 1, ldots, q 0 text Enspace k gt q fim direito. Onde beta0 1. Agora vamos gerar alguns dados simulados e usá-lo para criar correlogramas. Isso tornará a fórmula acima para rhok um pouco mais concreto. Simulações e Correlogramas Vamos começar com um processo MA (1). Se definimos beta1 0.6 obtemos o seguinte modelo: Como com os modelos AR (p) no artigo anterior, podemos usar R para simular tal série e então plotar o correlograma. Desde que weve teve muita prática na série de artigo anterior da série do tempo da série de realizar lotes, eu escreverei o código de R completamente, um pouco do que rachando ele acima: A saída é como segue: Como nós vimos acima na fórmula para rhok , Para k gt q, todas as autocorrelações devem ser zero. Uma vez que q 1, devemos ver um pico significativo em k1 e, em seguida, picos insignificantes subseqüentes a isso. Entretanto, devido ao viés de amostragem, deve-se esperar 5 picos (marginalmente) significativos em um gráfico de autocorrelação da amostra. Isto é precisamente o que o correlograma nos mostra neste caso. Temos um pico significativo em k1 e então picos insignificantes para k gt 1, exceto em k4 onde temos um pico marginalmente significativo. De fato, esta é uma maneira útil de ver se um modelo de MA (q) é apropriado. Examinando o correlograma de uma série particular, podemos ver quantos atrasos sequenciais não nulos existem. Se q tais defasagens existem, então podemos legitimamente tentar ajustar um modelo MA (q) a uma série particular. Uma vez que temos evidências de nossos dados simulados de um processo MA (1), agora vamos tentar e ajustar um modelo MA (1) para os nossos dados simulados. Infelizmente, não há um comando ma equivalente ao comando ar de modelo autorregressivo em R. Em vez disso, devemos usar o comando arima mais geral e definir os componentes auto-regressivos e integrados como zero. Fazemos isso criando um 3-vetor e definindo os dois primeiros componentes (os parâmetros autogressivos e integrados, respectivamente) a zero: Recebemos alguma saída útil do comando arima. Em primeiro lugar, podemos ver que o parâmetro foi estimado como hat 0.602, que é muito próximo ao verdadeiro valor de beta1 0.6. Em segundo lugar, os erros-padrão já estão calculados para nós, tornando-se fácil calcular intervalos de confiança. Em terceiro lugar, recebemos uma variância estimada, log-verossimilhança e critério de informação Akaike (necessário para a comparação de modelos). A principal diferença entre arima e ar é que a arima estima um termo de interceptação porque não subtrai o valor médio da série. Portanto, precisamos ter cuidado ao realizar as previsões usando o comando arima. Bem, volte a este ponto mais tarde. Como uma verificação rápida estavam indo para calcular os intervalos de confiança para hat: Podemos ver que o intervalo de confiança 95 contém o valor do parâmetro verdadeiro de beta1 0,6 e assim podemos julgar o modelo um bom ajuste. Obviamente, isso deve ser esperado desde que nós simulamos os dados em primeiro lugar Como as coisas mudam se modificarmos o sinal de beta1 para -0.6 Vamos realizar a mesma análise: A saída é a seguinte: Podemos ver que em k1 temos um significado Pico no correlograma, exceto que ele mostra correlação negativa, como wed esperar de um MA (1) modelo com primeiro coeficiente negativo. Mais uma vez todos os picos além de k1 são insignificantes. Vamos ajustar um modelo MA (1) e estimar o parâmetro: hat -0.730, que é uma pequena subestimação de beta1 -0.6. Finalmente, vamos calcular o intervalo de confiança: Podemos ver que o verdadeiro valor do parâmetro de beta1-0.6 está contido dentro do intervalo de confiança de 95, fornecendo-nos evidências de um bom ajuste de modelo. Vamos executar o mesmo procedimento para um processo MA (3). Desta vez, devemos esperar picos significativos em k em, e picos insignificantes para k gt 3. Vamos usar os seguintes coeficientes: beta1 0,6, beta2 0,4 e beta3 0,2. Vamos simular um processo MA (3) a partir deste modelo. Ive aumentou o número de amostras aleatórias para 1000 nesta simulação, o que torna mais fácil ver a verdadeira estrutura de autocorrelação, à custa de tornar a série original mais difícil de interpretar: A saída é a seguinte: Como esperado, os três primeiros picos são significativos . No entanto, assim é o quarto. Mas podemos legitimamente sugerir que isso pode ser devido ao viés de amostragem como esperamos ver 5 dos picos sendo significativo para além de kq. Vamos agora ajustar um modelo MA (3) para os dados para tentar estimar parâmetros: As estimativas hat 0.544, hat 0.345 e hat 0.298 estão perto dos valores verdadeiros de beta10.6, beta20.4 e beta30.3, respectivamente. Podemos também produzir intervalos de confiança usando os respectivos erros padrão: Em cada caso, os 95 intervalos de confiança contêm o verdadeiro valor do parâmetro e podemos concluir que temos um bom ajuste com o nosso modelo MA (3), como seria de se esperar. Dados Financeiros Na Parte 1 consideramos a Amazon Inc. (AMZN) eo SampP500 US Equity Index. Nós ajustamos o modelo AR (p) para ambos e descobrimos que o modelo foi incapaz de capturar efetivamente a complexidade da correlação serial, especialmente no elenco do SampP500, onde os efeitos de memória longa parecem estar presentes. Eu não vou traçar os gráficos novamente para os preços e autocorrelação, em vez disso eu vou encaminhá-lo para o post anterior. Amazon Inc. (AMZN) Permite começar por tentar ajustar uma seleção de modelos MA (q) para AMZN, ou seja, com q em. Como na Parte 1, bem uso quantmod para baixar os preços diários para AMZN e depois convertê-los em um log retorna fluxo de preços de fechamento: Agora que temos o log retorna fluxo podemos usar o comando arima para caber MA (1), MA (2) e MA (3) modelos e, em seguida, estimar os parâmetros de cada um. Para MA (1) temos: Podemos traçar os resíduos dos retornos de log diário e do modelo ajustado: Observe que temos alguns picos significativos nos retornos k2, k11, k16 e k18, indicando que o modelo MA (1) é Improvável de ser um bom ajuste para o comportamento do log AMZN retorna, uma vez que isso não se parece com uma realização de ruído branco. Vamos tentar um modelo MA (2): Ambas as estimativas para os coeficientes beta são negativas. Vamos plotar os resíduos uma vez mais: Podemos ver que há quase zero autocorrelação nos primeiros poucos retornos. No entanto, temos cinco picos marginalmente significativos nos retornos k12, k16, k19, k25 e k27. Isto é sugestivo que o modelo MA (2) está a capturar uma grande parte da autocorrelação, mas não todos os efeitos de memória longa. Como sobre um modelo de MA (3) Uma vez mais, podemos traçar os resíduos: O gráfico de MA (3) residuais parece quase idêntico ao do modelo MA (2). Isso não é surpreendente, assim como a adição de um novo parâmetro a um modelo que aparentemente explicou muitas das correlações em defasagens mais curtas, mas isso não terá muito efeito sobre os atrasos de longo prazo. Toda esta evidência é sugestiva do fato de que um modelo de MA (q) é improvável que seja útil para explicar toda a correlação serial isoladamente. Pelo menos para AMZN. SampP500 Se você se lembrar, na Parte 1 vimos que a primeira ordem diferenciada log diário retorna estrutura do SampP500 possuía muitos picos significativos em vários desfasamentos, tanto curto como longo. Isto proporcionou evidências de heterocedasticidade condicional (isto é, agrupamento de volatilidade) e efeitos de memória longa. Conclui-se que o modelo AR (p) foi insuficiente para captar toda a autocorrelação presente. Como vimos anteriormente, o modelo MA (q) foi insuficiente para capturar correlação serial adicional nos resíduos do modelo ajustado para a série de preços de log diária diferenciada de primeira ordem. Vamos agora tentar ajustar o modelo MA (q) ao SampP500. Pode-se perguntar por que estamos fazendo isso é se sabemos que é improvável que seja um bom ajuste. Essa é uma boa pergunta. A resposta é que precisamos ver exatamente como ele não é um bom ajuste, porque este é o processo final que estaremos seguindo quando nos depararmos com modelos muito mais sofisticados, que são potencialmente mais difíceis de interpretar. Vamos começar por obter os dados e convertê-lo para uma série de primeira ordem diferenciada de logaritmicamente transformado preços de fechamento diário como no artigo anterior: Agora vamos ajustar um modelo MA (1), MA (2) e MA (3) para A série, como fizemos acima para AMZN. Vamos começar com MA (1): Vamos fazer um gráfico dos resíduos deste modelo ajustado: O primeiro pico significativo ocorre em k2, mas há muitos mais em k em. Esta não é claramente uma percepção de ruído branco e por isso temos de rejeitar o modelo MA (1) como um bom potencial para o SampP500. A situação melhora com MA (2) Mais uma vez, vamos fazer um gráfico dos resíduos deste modelo ajustado MA (2): Enquanto o pico em k2 desapareceu (como wed esperar), ainda estamos com os picos significativos em Muitos atrasos mais longos nos resíduos. Mais uma vez, encontramos o modelo MA (2) não é um bom ajuste. Devemos esperar, para o modelo MA (3), ver menos correlação serial em k3 do que para o MA (2), mas, mais uma vez, também devemos esperar nenhuma redução em defasagens adicionais. Finalmente, fazemos um gráfico dos resíduos deste modelo ajustado MA (3): Isto é precisamente o que vemos no correlograma dos resíduos. Daí o MA (3), como com os outros modelos acima, não é um bom ajuste para o SampP500. Próximas Etapas Examinamos agora em detalhe dois grandes modelos de séries temporais: o modelo Autogressivo de ordem p, AR (p) e então Média Móvel de ordem q, MA (q). Já vimos que eles são capazes de explicar algumas das autocorrelações nos resíduos de primeira ordem diferenciados diariamente log preços de ações e índices, mas volatilidade clusterização e memória longa efeitos persistem. É finalmente o momento de voltar nossa atenção para a combinação destes dois modelos, ou seja, a Média Móvel Autoresgressiva de ordem p, q, ARMA (p, q) para ver se ela vai melhorar a situação ainda mais. No entanto, teremos de esperar até o próximo artigo para uma discussão completa. Apenas começando com Quantitative Trading2.1 Modelos de média móvel (MA models) Modelos de séries temporais conhecidos como modelos ARIMA podem incluir termos autorregressivos ou termos de média móvel. Na Semana 1, aprendemos um termo autorregressivo em um modelo de séries temporais para a variável x t é um valor retardado de x t. Por exemplo, um termo autorregressivo de atraso 1 é x t-1 (multiplicado por um coeficiente). Esta lição define termos de média móvel. Um termo de média móvel em um modelo de séries temporais é um erro passado (multiplicado por um coeficiente). Vamos (wt desviar N (0, sigma2w)), significando que os w t são identicamente, distribuídos independentemente, cada um com uma distribuição normal com média 0 e a mesma variância. O modelo de média móvel de ordem 1, denotado por MA (1) é (xt mu wt theta1w) O modelo de média móvel de 2ª ordem, denotado por MA (2) é (xt mu wt theta1w theta2w) , Denotado por MA (q) é (xt mu wt theta1w theta2w pontos thetaqw) Nota. Muitos livros didáticos e programas de software definem o modelo com sinais negativos antes dos termos. Isso não altera as propriedades teóricas gerais do modelo, embora ele inverta os sinais algébricos de valores de coeficientes estimados e de termos (não-quadrados) nas fórmulas para ACFs e variâncias. Você precisa verificar seu software para verificar se sinais negativos ou positivos foram usados ​​para escrever corretamente o modelo estimado. R usa sinais positivos em seu modelo subjacente, como fazemos aqui. Propriedades Teóricas de uma Série de Tempo com um Modelo MA (1) Observe que o único valor não nulo na ACF teórica é para o atraso 1. Todas as outras autocorrelações são 0. Assim, uma ACF de amostra com uma autocorrelação significativa apenas no intervalo 1 é um indicador de um possível modelo MA (1). Para os estudantes interessados, provas destas propriedades são um apêndice a este folheto. Exemplo 1 Suponha que um modelo MA (1) seja x t 10 w t .7 w t-1. Onde (wt overset N (0,1)). Assim, o coeficiente 1 0,7. O ACF teórico é dado por Um gráfico deste ACF segue. O gráfico apenas mostrado é o ACF teórico para um MA (1) com 1 0,7. Na prática, uma amostra normalmente não proporciona um padrão tão claro. Usando R, simulamos n 100 valores de amostra usando o modelo x t 10 w t .7 w t-1 onde w t iid N (0,1). Para esta simulação, segue-se um gráfico de séries temporais dos dados da amostra. Não podemos dizer muito desse enredo. A ACF de amostra para os dados simulados segue. Observamos que a amostra ACF não corresponde ao padrão teórico do MA subjacente (1), ou seja, que todas as autocorrelações para os atrasos de 1 serão 0 Uma amostra diferente teria uma ACF de amostra ligeiramente diferente mostrada abaixo, mas provavelmente teria as mesmas características gerais. Propriedades teóricas de uma série temporal com um modelo MA (2) Para o modelo MA (2), as propriedades teóricas são as seguintes: Note que os únicos valores não nulos na ACF teórica são para os retornos 1 e 2. As autocorrelações para atrasos maiores são 0 . Assim, uma ACF de amostra com autocorrelações significativas nos intervalos 1 e 2, mas autocorrelações não significativas para atrasos maiores indica um possível modelo MA (2). Iid N (0,1). Os coeficientes são 1 0,5 e 2 0,3. Como este é um MA (2), o ACF teórico terá valores não nulos apenas nos intervalos 1 e 2. Os valores das duas autocorrelações não nulas são: Um gráfico do ACF teórico segue. Como quase sempre é o caso, dados de exemplo não vai se comportar tão perfeitamente como a teoria. Foram simulados n 150 valores de amostra para o modelo x t 10 w t .5 w t-1 .3 w t-2. Onde w t iid N (0,1). O gráfico de série de tempo dos dados segue. Como com o gráfico de série de tempo para os dados de amostra de MA (1), você não pode dizer muito dele. A ACF de amostra para os dados simulados segue. O padrão é típico para situações em que um modelo MA (2) pode ser útil. Existem dois picos estatisticamente significativos nos intervalos 1 e 2, seguidos por valores não significativos para outros desfasamentos. Note que devido ao erro de amostragem, a ACF da amostra não corresponde exactamente ao padrão teórico. ACF para Modelos Gerais MA (q) Uma propriedade dos modelos MA (q) em geral é que existem autocorrelações não nulas para os primeiros q lags e autocorrelações 0 para todos os retornos gt q. Não-unicidade de conexão entre os valores de 1 e (rho1) no modelo MA (1). No modelo MA (1), para qualquer valor de 1. O recíproco 1 1 dá o mesmo valor para Como exemplo, use 0,5 para 1. E então use 1 (0,5) 2 para 1. Você obterá (rho1) 0,4 em ambas as instâncias. Para satisfazer uma restrição teórica chamada invertibilidade. Restringimos modelos MA (1) para ter valores com valor absoluto menor que 1. No exemplo dado, 1 0,5 será um valor de parâmetro permitido, enquanto 1 10,5 2 não. Invertibilidade de modelos MA Um modelo MA é dito ser inversível se for algébrica equivalente a um modelo de ordem infinita convergente. Por convergência, queremos dizer que os coeficientes de RA diminuem para 0 à medida que avançamos no tempo. Invertibilidade é uma restrição programada em séries temporais de software utilizado para estimar os coeficientes de modelos com MA termos. Não é algo que verificamos na análise de dados. Informações adicionais sobre a restrição de invertibilidade para modelos MA (1) são fornecidas no apêndice. Teoria Avançada Nota. Para um modelo MA (q) com um ACF especificado, existe apenas um modelo invertible. A condição necessária para a invertibilidade é que os coeficientes têm valores tais que a equação 1- 1 y-. - q y q 0 tem soluções para y que caem fora do círculo unitário. Código R para os Exemplos No Exemplo 1, traçamos o ACF teórico do modelo x t 10w t. 7w t-1. E depois simularam n 150 valores a partir deste modelo e traçaram a amostra de séries temporais ea amostra ACF para os dados simulados. Os comandos R utilizados para traçar o ACF teórico foram: acfma1ARMAacf (mac (0.7), lag. max10) 10 lags de ACF para MA (1) com theta1 0.7 lags0: 10 cria uma variável chamada lags que varia de 0 a 10. plot (Lags, acfma1, xlimc (1,10), ylabr, typeh, ACF principal para MA (1) com theta1 0,7) abline (h0) adiciona um eixo horizontal ao gráfico O primeiro comando determina o ACF e o armazena em um objeto Chamado acfma1 (nossa escolha de nome). O comando de plotagem (o terceiro comando) traça defasagens em relação aos valores de ACF para os retornos de 1 a 10. O parâmetro ylab marca o eixo y eo parâmetro principal coloca um título no gráfico. Para ver os valores numéricos do ACF basta usar o comando acfma1. A simulação e as parcelas foram feitas com os seguintes comandos. Xcarima. sim (n150, lista (mac (0.7))) Simula n 150 valores de MA (1) xxc10 adiciona 10 para fazer a média 10. Padrões de simulação significam 0. plot (x, typeb, mainSimulated MA (1) data) Acf (x, xlimc (1,10), mainACF para dados de amostras simulados) No Exemplo 2, traçamos o ACF teórico do modelo xt 10 wt. 5 w t-1 .3 w t-2. E depois simularam n 150 valores a partir deste modelo e traçaram a amostra de séries temporais ea amostra ACF para os dados simulados. Os comandos R utilizados foram acfma2ARMAacf (mac (0,5,0,3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 parcela (lags, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, tipoh, ACF principal para MA (2) com theta1 0,5, (X, typeb, main Simulado MA (2) Series) acf (x, xlimc (1,10), x2, MainACF para dados simulados de MA (2) Apêndice: Prova de Propriedades de MA (1) Para estudantes interessados, aqui estão as provas para propriedades teóricas do modelo MA (1). Quando h 1, a expressão anterior 1 w 2. Para qualquer h 2, a expressão anterior 0 (x) é a expressão anterior x (x) A razão é que, por definição de independência do wt. E (w k w j) 0 para qualquer k j. Além disso, porque w t tem média 0, E (w j w j) E (w j 2) w 2. Para uma série de tempo, aplique este resultado para obter o ACF fornecido acima. Um modelo MA reversível é aquele que pode ser escrito como um modelo de ordem infinita AR que converge de modo que os coeficientes AR convergem para 0 à medida que nos movemos infinitamente para trás no tempo. Bem demonstrar invertibilidade para o modelo MA (1). Em seguida, substitui-se a relação (2) para wt-1 na equação (1) (3) (zt wt theta1 (z-theta1w) wt theta1z-theta2w) No tempo t-2. A equação (2) torna-se Então substituimos a relação (4) para wt-2 na equação (3) (zt wt theta1 z - theta21w wt theta1z - theta21 (z - theta1w) wt theta1z-theta12z theta31w) Se continuássemos Infinitamente), obteríamos o modelo AR de ordem infinita (zt wt theta1 z - theta21z theta31z - theta41z pontos) Observe, no entanto, que se 1 1, os coeficientes multiplicando os desfasamentos de z aumentarão (infinitamente) Tempo. Para evitar isso, precisamos de 1 lt1. Esta é a condição para um modelo MA (1) invertible. Infinite Order MA model Na semana 3, bem ver que um modelo AR (1) pode ser convertido em um modelo de ordem infinita MA: (xt - mu wt phi1w phi21w pontos phik1 w dots sum phij1w) Esta soma de termos de ruído branco passado é conhecido Como a representação causal de um AR (1). Em outras palavras, x t é um tipo especial de MA com um número infinito de termos voltando no tempo. Isso é chamado de ordem infinita MA ou MA (). Uma ordem finita MA é uma ordem infinita AR e qualquer ordem finita AR é uma ordem infinita MA. Lembre-se na Semana 1, observamos que um requisito para um AR estacionário (1) é que 1 lt1. Vamos calcular o Var (x t) usando a representação causal. Esta última etapa usa um fato básico sobre séries geométricas que requer (phi1lt1) caso contrário, a série diverge. Navegação